$0 < a < b$ を満たす定数 $a, b$ がある。 $x_n = (\frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a})^{\frac{1}{n}}$ とおくとき、以下の問いに答える。 (1) 不等式 $b < a(x_n) < 2b$ を証明せよ。 (2) $\lim_{n \to \infty} x_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < a < b$ を満たす定数 $a, b$ がある。

$x_n = (\frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a})^{\frac{1}{n}}$ とおくとき、以下の問いに答える。

(1) 不等式 $b < a(x_n) < 2b$ を証明せよ。

(2) $\lim_{n \to \infty} x_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $b < a(x_n) < 2b$ の証明

まず、$x_n = (\frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a})^{\frac{1}{n}}$ より、

$x_n^n = \frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a}$

$a < b$ なので、$a^n < b^n$ である。

$x_n^n = \frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a} > \frac{b^n}{a} > b^n$

よって、$x_n > b$ となる。

次に、$x_n^n = \frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a} < \frac{b^n}{b} + \frac{b^n}{a} = b^{n-1} + \frac{b^n}{a} = b^n (\frac{1}{b} + \frac{1}{a}) < b^n (\frac{1}{a} + \frac{1}{a}) = \frac{2b^n}{a}$

$x_n < (\frac{2b^n}{a})^{\frac{1}{n}} = (\frac{2}{a})^{\frac{1}{n}} b$

ここで $a(x_n) < (\frac{2}{a})^{\frac{1}{n}} ab$ が成り立つ。

したがって、$b < x_n < (\frac{2}{a})^{\frac{1}{n}} b$ となり、両辺に$a$を掛けて$ab < a(x_n) < (\frac{2}{a})^{\frac{1}{n}}ab$

しかし$b < a(x_n) < 2b$を示すには、もう少し考える必要がある。

$x_n^n = \frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a}$

$x_n = (\frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a})^{\frac{1}{n}} = b(\frac{a^n}{b^{n+1}} + \frac{1}{a})^{\frac{1}{n}}$

$x_n^n = \frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a} < \frac{b^n}{b} + \frac{b^n}{a} = b^{n-1} + \frac{b^n}{a} = b^n(\frac{1}{b} + \frac{1}{a})$

$x_n < b(\frac{1}{b} + \frac{1}{a})^{\frac{1}{n}} = b(\frac{a+b}{ab})^{\frac{1}{n}}$

$a x_n < ab (\frac{a+b}{ab})^{\frac{1}{n}}$

$x_n = (\frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a})^{\frac{1}{n}} = (\frac{b^n}{a}(1 + \frac{a^{n+1}}{b^{n+1}}))^{\frac{1}{n}} = \frac{b}{a^{\frac{1}{n}}}(1 + (\frac{a}{b})^{n+1})^{\frac{1}{n}}$

$x_n > b$であることは自明。

$x_n = b (\frac{a^n}{b^{n+1}} + \frac{1}{a})^{\frac{1}{n}}$

$ax_n = a(\frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a})^{\frac{1}{n}}$

$x_n^n = \frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a} = \frac{b^n}{a}(1+(\frac{a}{b})^n \frac{a}{b}) < 2\frac{b^n}{a}$

$x_n < (\frac{2}{a})^{\frac{1}{n}} b$

$a(x_n) < a b (\frac{2}{a})^{\frac{1}{n}}$

$b < a(x_n)$はわかっている。

次に、$ax_n^n = \frac{a^{n+1}}{b} + b^n$. $ax_n = ( \frac{a^{n+1}}{b} + b^n )^{\frac{1}{n}}$

$a < b$.

$x_n^n = \frac{b^n}{a} + \frac{a^n}{b} = \frac{b^n}{a}(1+\frac{a^{n+1}}{b^{n+1}})$.

$a x_n = a (\frac{b^n}{a} + \frac{a^n}{b})^{\frac{1}{n}} = (b^n + \frac{a^{n+1}}{b})^{\frac{1}{n}} < (b^n + b^n)^{\frac{1}{n}} < (2b^n)^{\frac{1}{n}} = 2^{\frac{1}{n}}b$

$a > 0$なので、$a < 2^{\frac{1}{n}}$.

$b < a(x_n) < 2^{\frac{1}{n}}b$. $n \to \infty$なら、$b < a(x_n) < b$ となる。

$x_n^n = \frac{b^n}{a}(1+(\frac{a}{b})^{n+1})$. $x_n = (\frac{b^n}{a}(1+(\frac{a}{b})^{n+1}))^{\frac{1}{n}} = \frac{b}{a^{\frac{1}{n}}}(1+(\frac{a}{b})^{n+1})^{\frac{1}{n}}$.

$a < b$なので、$(\frac{a}{b}) < 1$, $(\frac{a}{b})^{n+1} \to 0, n \to \infty$

$n \to \infty, x_n = b, ax_n < 2b$,　正しくない。

$x_n^n = \frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a} < \frac{b^n}{b} + \frac{b^n}{a} = b^{n-1} + \frac{b^n}{a}$

$a x_n < a( b^{n-1} + \frac{b^n}{a} )^{1/n} < a (2\frac{b^n}{a})^{1/n} = a (\frac{2b^n}{a})^{1/n}$

$b^{n} < x_n^{n} < b^n \frac{2}{a}$　より、$b < x_n < \frac{2b}{a}$.

(2) $\lim_{n \to \infty} x_n$ を求めよ。

$x_n = (\frac{a^n}{b} + \frac{b^n}{a})^{\frac{1}{n}} = (\frac{b^n}{a}(1 + \frac{a^{n+1}}{b^{n+1}}))^{\frac{1}{n}} = (\frac{b^n}{a})^{\frac{1}{n}} (1 + (\frac{a}{b})^{n+1})^{\frac{1}{n}} = \frac{b}{a^{\frac{1}{n}}} (1 + (\frac{a}{b})^{n+1})^{\frac{1}{n}}$

$\lim_{n \to \infty} a^{\frac{1}{n}} = 1$

$\lim_{n \to \infty} (\frac{a}{b})^{n+1} = 0$

$\lim_{n \to \infty} (1 + (\frac{a}{b})^{n+1})^{\frac{1}{n}} = 1$

よって、$\lim_{n \to \infty} x_n = b$

3. 最終的な答え

(1) 証明は困難. $b < x_n < (\frac{2}{a})^{1/n}b$.

(2) $\lim_{n \to \infty} x_n = b$