関数 $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して関数を簡単にする。

対数の性質 $\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$ と $\log A^n = n \log A$ を使う。

$y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2} = \log (x+2)^3 - \log (2x+1)^2 = 3 \log (x+2) - 2 \log (2x+1)$

次に、$y$ を $x$ で微分する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (3 \log (x+2) - 2 \log (2x+1))$

$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$ であることを利用し、合成関数の微分を行う。

$\frac{d}{dx} (3 \log (x+2)) = 3 \cdot \frac{1}{x+2} \cdot \frac{d}{dx} (x+2) = \frac{3}{x+2} \cdot 1 = \frac{3}{x+2}$

$\frac{d}{dx} (2 \log (2x+1)) = 2 \cdot \frac{1}{2x+1} \cdot \frac{d}{dx} (2x+1) = \frac{2}{2x+1} \cdot 2 = \frac{4}{2x+1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+2} - \frac{4}{2x+1}$

最後に、$\frac{dy}{dx}$ を整理する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1) - 4(x+2)}{(x+2)(2x+1)} = \frac{6x+3 - 4x - 8}{(x+2)(2x+1)} = \frac{2x - 5}{(x+2)(2x+1)} = \frac{2x-5}{2x^2+5x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5}{2x^2+5x+2}$

あるいは

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$