定積分 $\int_{1}^{2} 3x^2 dx$ を計算してください。

## 問題Bの1(1)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} 3x^2 dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$3x^2$ の不定積分を求めます。

$x^n$ の不定積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ であることを利用すると、

$3x^2$ の不定積分は $3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$ となります。

次に、定積分の定義より、不定積分に積分範囲の上端と下端の値を代入し、その差を計算します。

したがって、

$\int_{1}^{2} 3x^2 dx = [x^3]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$

3. 最終的な答え

7

## 問題Bの1(2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

$\cos x$ の不定積分を求めます。

$\cos x$ の不定積分は $\sin x$ です。

次に、定積分の定義より、不定積分に積分範囲の上端と下端の値を代入し、その差を計算します。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

1

## 問題Bの1(3)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積分を少し変形します。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} x^{-\frac{1}{2}} dx$

$x^{-\frac{1}{2}}$ の不定積分を求めます。

$x^n$ の不定積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ であることを利用すると、

$x^{-\frac{1}{2}}$ の不定積分は $\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$ となります。

したがって、$\frac{1}{2}\int_{1}^{2} x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} [2\sqrt{x}]_{1}^{2} = [\sqrt{x}]_{1}^{2} = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} - 1$

## 問題Bの1(4)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{1+x^2}$ の不定積分を求めます。

$\frac{1}{1+x^2}$ の不定積分は $\arctan x$ です。

次に、定積分の定義より、不定積分に積分範囲の上端と下端の値を代入し、その差を計算します。

したがって、

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan x]_{1}^{\sqrt{3}} = \arctan \sqrt{3} - \arctan 1 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{12}$

## 問題Bの2(1)

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が連続であるとき、$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt$ を求めてください。

2. 解き方の手順

微積分学の基本定理を用いると、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

3. 最終的な答え

$f(x)$

## 問題Bの2(2)

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が連続であるとき、$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x^2} f(t) dt$ を求めてください。

2. 解き方の手順

合成関数の微分と微積分学の基本定理を用いると、

$u = x^2$ とおくと、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x^2} f(t) dt = \frac{d}{du} \int_{a}^{u} f(t) dt \cdot \frac{du}{dx} = f(u) \cdot \frac{du}{dx} = f(x^2) \cdot (2x) = 2x f(x^2)$

3. 最終的な答え

$2x f(x^2)$