次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + \sinh^2(2x)}{4\sinh^2(x)}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + \sinh^2(2x)}{4\sinh^2(x)}$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を使うか、$\sinh(x) \approx x$ を $x \to 0$ で使うことを考えます。ここでは後者を使います。

$\sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$

$x \to 0$ で、 $\sinh(x) \approx x$ と近似できます。

したがって、$\sinh^2(x) \approx x^2$ となります。

与えられた式に適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + \sinh^2(2x)}{4\sinh^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + (2x)^2}{4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + 4x^2}{4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{4x^2} = \frac{3}{4}$

あるいは、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + \sinh^2(2x)}{4\sinh^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x + 2\sinh(2x)\cdot 2\cosh(2x)}{8\sinh(x)\cosh(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x + 4\sinh(2x)\cosh(2x)}{4\sinh(2x)}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-x + 2\sinh(2x)\cosh(2x)}{2\sinh(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1 + 2(2\cosh(2x)\cosh(2x) + \sinh(2x)(-2\sinh(2x))}{4\cosh(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1 + 4\cosh^2(2x) - 4\sinh^2(2x)}{4\cosh(2x)}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-1 + 4(\cosh^2(2x) - \sinh^2(2x))}{4\cosh(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1 + 4(1)}{4\cosh(2x)} = \frac{3}{4\cdot 1} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$