$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^x}$ の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^x}$ の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、直接代入してみると、$\frac{-\infty}{0}$ という不定形になります。したがって、ロピタルの定理を適用することを考えます。しかし、$x \to -\infty$の場合、この形の不定形に直接ロピタルの定理を適用することは適切ではありません。

そこで、変数を $t = -x$ と置き換えます。すると、$x \to -\infty$ のとき $t \to \infty$ となります。与えられた式は次のようになります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{t \to \infty} \frac{-t}{e^{-t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{-t}{\frac{1}{e^t}} = \lim_{t \to \infty} -te^t$

$t \to \infty$ のとき、$t \to \infty$ かつ $e^t \to \infty$ なので、$-te^t \to -\infty$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^x} = -\infty$

3. 最終的な答え

$-\infty$