与えられた極限の等式 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}$ を証明する。

1. 問題の内容

与えられた極限の等式 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$y = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ とおく。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = n \ln \left(1 - \frac{1}{n}\right)$ となる。

ここで、$x = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき、$x \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{x}$ となる。

$\ln(1-x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開すると、

$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots$ となる。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots}{x} = \lim_{x \to 0} \left(-1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \cdots\right) = -1$

よって、$\lim_{n \to \infty} \ln y = -1$ となる。

したがって、$\lim_{n \to \infty} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$ となる。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}$