$a$ を正の定数とする。曲線 $x = a(\theta - \sin\theta), y = a(1 - \cos\theta)$ $(0 \leq \theta \leq 2\pi)$ 上の点Pにおける法線が直線 $x = \pi a$ と交わる点をQとする。ただし、Pは点 $(\pi a, 2a)$ とは異なる点である。 (1) Qの$y$座標を$\theta$で表せ。 (2) $\theta$を$\pi$に近づけるときQはどのような点に近づくか。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。曲線 $x = a(\theta - \sin\theta), y = a(1 - \cos\theta)$ $(0 \leq \theta \leq 2\pi)$ 上の点Pにおける法線が直線 $x = \pi a$ と交わる点をQとする。ただし、Pは点 $(\pi a, 2a)$ とは異なる点である。

(1) Qの$y$座標を$\theta$で表せ。

(2) $\theta$を$\pi$に近づけるときQはどのような点に近づくか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点Pにおける法線を求める。曲線のパラメータ表示から、

$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = a\sin\theta$

よって、点Pにおける接線の傾きは

$\frac{dy}{dx} = \frac{a\sin\theta}{a(1 - \cos\theta)} = \frac{\sin\theta}{1 - \cos\theta}$

点Pにおける法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を変えたものなので、

$-\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

点Pの座標は $(a(\theta - \sin\theta), a(1 - \cos\theta))$ なので、点Pにおける法線の方程式は

$y - a(1 - \cos\theta) = -\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} (x - a(\theta - \sin\theta))$

点Qは直線 $x = \pi a$ 上にあるので、法線の方程式に $x = \pi a$ を代入してQの$y$座標を求める。

$y - a(1 - \cos\theta) = -\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} (\pi a - a(\theta - \sin\theta))$

$y = a(1 - \cos\theta) - \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} a(\pi - \theta + \sin\theta)$

$y = a(1 - \cos\theta) - a\frac{(1 - \cos\theta)(\pi - \theta + \sin\theta)}{\sin\theta}$

$y = a\left[ (1 - \cos\theta) - \frac{(1 - \cos\theta)(\pi - \theta + \sin\theta)}{\sin\theta} \right]$

$y = a \left[ \frac{(1 - \cos\theta)\sin\theta - (1 - \cos\theta)(\pi - \theta + \sin\theta)}{\sin\theta} \right]$

$y = a \left[ \frac{(1 - \cos\theta)(\sin\theta - \pi + \theta - \sin\theta)}{\sin\theta} \right]$

$y = a \left[ \frac{(1 - \cos\theta)(\theta - \pi)}{\sin\theta} \right]$

(2)

$\theta \to \pi$ のとき、Qの$y$座標は

$\lim_{\theta \to \pi} a \frac{(1 - \cos\theta)(\theta - \pi)}{\sin\theta}$

ここで、$\theta - \pi = t$ とおくと、$\theta = t + \pi$ であり、$\theta \to \pi$ のとき $t \to 0$ である。

$\lim_{t \to 0} a \frac{(1 - \cos(t + \pi))t}{\sin(t + \pi)} = \lim_{t \to 0} a \frac{(1 + \cos t)t}{-\sin t} = -a \lim_{t \to 0} (1 + \cos t) \frac{t}{\sin t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$ より

$-a \lim_{t \to 0} (1 + \cos t) = -a(1 + \cos 0) = -2a$

3. 最終的な答え

(1) Qの$y$座標: $y = a \left[ \frac{(1 - \cos\theta)(\theta - \pi)}{\sin\theta} \right]$

(2) $\theta$を$\pi$に近づけるときQは$(\pi a, -2a)$に近づく。