以下の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + 1}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^3 - (2-x)^3}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

## 回答

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + 1}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^3 - (2-x)^3}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + 1}$

分子と分母を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

よって、

$\lim_{x \to -1} \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x - 2}{x^2 - x + 1}$

$x = -1$ を代入すると、

$\frac{-1 - 2}{(-1)^2 - (-1) + 1} = \frac{-3}{1 + 1 + 1} = \frac{-3}{3} = -1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^3 - (2-x)^3}{x}$

$(2+x)^3$と$(2-x)^3$を展開します。

$(2+x)^3 = 8 + 12x + 6x^2 + x^3$

$(2-x)^3 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3$

よって、

$(2+x)^3 - (2-x)^3 = (8 + 12x + 6x^2 + x^3) - (8 - 12x + 6x^2 - x^3) = 24x + 2x^3$

$\lim_{x \to 0} \frac{24x + 2x^3}{x} = \lim_{x \to 0} (24 + 2x^2)$

$x = 0$ を代入すると、

$24 + 2(0)^2 = 24$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} = \frac{(1+x) - (1-x)}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \frac{2x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}$

$x = 0$ を代入すると、

$\frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) 24

(3) 1