次の極限値を求めます。 $$ \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + 1} $$

はい、承知いたしました。どの問題に答えますか？ここでは、4.(1)の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

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\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + 1}

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2. 解き方の手順

まず、分子と分母を因数分解します。

分子は、$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ と因数分解できます。

分母は、$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$ と因数分解できます。

したがって、

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\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}

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$x \neq -1$のとき、$x + 1$で約分できます。

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\lim_{x \to -1} \frac{x - 2}{x^2 - x + 1}

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$x \to -1$ のとき、$x^2 - x + 1 \to (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$ となり、また $x-2 \to -1 - 2 = -3$ となるので、

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\lim_{x \to -1} \frac{x - 2}{x^2 - x + 1} = \frac{-1 - 2}{(-1)^2 - (-1) + 1} = \frac{-3}{3} = -1

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3. 最終的な答え

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\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + 1} = -1

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