関数 $y = \frac{2x+1}{x^2-x+1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+1}{x^2-x+1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を利用します。

商の微分公式は、 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ のとき、

$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$ で与えられます。

この問題では、$u(x) = 2x+1$、 $v(x) = x^2-x+1$ とおきます。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の導関数を計算します。

$u'(x) = 2$

$v'(x) = 2x-1$

次に、商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{2(x^2-x+1) - (2x+1)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}$

分子を展開して整理します。

$y' = \frac{2x^2 - 2x + 2 - (4x^2 - 2x + 2x - 1)}{(x^2-x+1)^2}$

$y' = \frac{2x^2 - 2x + 2 - (4x^2 - 1)}{(x^2-x+1)^2}$

$y' = \frac{2x^2 - 2x + 2 - 4x^2 + 1}{(x^2-x+1)^2}$

$y' = \frac{-2x^2 - 2x + 3}{(x^2-x+1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 - 2x + 3}{(x^2-x+1)^2}$