与えられた二重積分 $I = \int_{0}^{2} \left( \int_{\sqrt{2y}}^{2} e^{x^5} y \, dx \right) dy$ について、 (1) 積分領域 $D$ を図示し、集合の記号で表す。 (2) 積分順序を変更する。 (3) 二重積分 $I$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた二重積分 $I = \int_{0}^{2} \left( \int_{\sqrt{2y}}^{2} e^{x^5} y \, dx \right) dy$ について、

(1) 積分領域 $D$ を図示し、集合の記号で表す。

(2) 積分順序を変更する。

(3) 二重積分 $I$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 積分領域 $D$ の決定

積分範囲は $0 \le y \le 2$ および $\sqrt{2y} \le x \le 2$ である。

$\sqrt{2y} \le x$ より、$2y \le x^2$ となり、$y \le \frac{x^2}{2}$ である。

よって、$D = \{(x, y) \mid 0 \le y \le \frac{x^2}{2}, 0 \le x \le 2\}$ である。

(2) 積分順序の変更

積分領域 $D$ を $x$ から $y$ の順に積分するように変更する。

$0 \le x \le 2$ であり、$0 \le y \le \frac{x^2}{2}$ である。

したがって、積分順序を変更すると、

$I = \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{\frac{x^2}{2}} e^{x^5} y \, dy \right) dx$ となる。

(3) 二重積分の計算

$I = \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{\frac{x^2}{2}} e^{x^5} y \, dy \right) dx$

まず、$y$ について積分する。

$\int_{0}^{\frac{x^2}{2}} e^{x^5} y \, dy = e^{x^5} \int_{0}^{\frac{x^2}{2}} y \, dy = e^{x^5} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{\frac{x^2}{2}} = e^{x^5} \frac{(\frac{x^2}{2})^2}{2} = e^{x^5} \frac{x^4}{8}$

次に、$x$ について積分する。

$I = \int_{0}^{2} e^{x^5} \frac{x^4}{8} \, dx$

$t = x^5$ と置換すると、$dt = 5x^4 dx$ より、$x^4 dx = \frac{1}{5} dt$ である。

$x=0$ のとき、$t=0$ であり、$x=2$ のとき、$t=32$ である。

$I = \int_{0}^{32} e^{t} \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{5} \, dt = \frac{1}{40} \int_{0}^{32} e^{t} \, dt = \frac{1}{40} [e^{t}]_{0}^{32} = \frac{1}{40} (e^{32} - e^{0}) = \frac{e^{32} - 1}{40}$

3. 最終的な答え

(1) $D = \{(x, y) \mid 0 \le y \le \frac{x^2}{2}, 0 \le x \le 2\}$

(2) $I = \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{\frac{x^2}{2}} e^{x^5} y \, dy \right) dx$

(3) $I = \frac{e^{32} - 1}{40}$