関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分し、$y'$を求める問題です。

解析学微分関数の微分合成関数チェーンルール

2025/7/26

1. 問題の内容

関数

y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}

を微分し、

y'

を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を

y = (x^3 + 3x^2 + 1)^{-1}

と書き換えます。次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を使います。

y' = -1(x^3 + 3x^2 + 1)^{-2} \cdot (3x^2 + 6x)

整理すると、

y' = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}

となります。

3. 最終的な答え

y' = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}

選択肢の中から最も適切なものは2番です。

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