関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を微分するには、商の微分法、または合成関数の微分法（チェインルール）を使います。ここでは、チェインルールを使います。

まず、$u = x^4 + 5$ と置くと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$ となります。

次に、$u$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = 4x^3$

そして、$y$ を $u$ で微分すると、

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

チェインルールを使うと、$y$ を $x$ で微分したものは、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 4x^3 = -\frac{4x^3}{u^2}$

最後に、$u = x^4 + 5$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$