(1) $a \neq 0, \pm 1$ のとき、関数 $y = \sqrt{a^2 - x}$ のグラフと直線 $y = ax - a$ が接するときの $a$ の値を求める。 (2) $a < -1$ のとき、不等式 $\sqrt{a^2 - x} > ax - a$ を解く。

1. 問題の内容

(1) $a \neq 0, \pm 1$ のとき、関数 $y = \sqrt{a^2 - x}$ のグラフと直線 $y = ax - a$ が接するときの $a$ の値を求める。

(2) $a < -1$ のとき、不等式 $\sqrt{a^2 - x} > ax - a$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = \sqrt{a^2 - x}$ と直線 $y = ax - a$ が接するということは、$x$ の方程式 $\sqrt{a^2 - x} = ax - a$ が重解を持つことを意味する。

両辺を2乗すると、

$a^2 - x = (ax - a)^2 = a^2x^2 - 2a^2x + a^2$

整理すると、

$a^2x^2 + (1-2a^2)x = 0$

$x(a^2x + 1 - 2a^2) = 0$

よって、$x = 0$ または $a^2x = 2a^2 - 1$ より $x = \frac{2a^2 - 1}{a^2}$.

$x=0$ のとき、$y = \sqrt{a^2} = |a|$. また、$y = a\cdot0 - a = -a$. よって、 $|a| = -a$ となる必要がある。これは $a < 0$ のときに成り立つ。

$x = \frac{2a^2 - 1}{a^2}$ のとき、$ax - a = a(\frac{2a^2 - 1}{a^2}) - a = \frac{2a^2 - 1}{a} - a = \frac{2a^2 - 1 - a^2}{a} = \frac{a^2 - 1}{a}$.

このとき、$y = \sqrt{a^2 - x} = \sqrt{a^2 - \frac{2a^2 - 1}{a^2}} = \sqrt{\frac{a^4 - 2a^2 + 1}{a^2}} = \sqrt{\frac{(a^2 - 1)^2}{a^2}} = \frac{|a^2 - 1|}{|a|}$.

したがって、$\frac{|a^2 - 1|}{|a|} = \frac{a^2 - 1}{a}$.

もし $a^2 - 1 > 0$ すなわち $a < -1$ or $a > 1$ ならば、$\frac{a^2 - 1}{|a|} = \frac{a^2 - 1}{a}$. これは $|a| = a$ より $a > 0$ のとき成り立つ。$a > 1$ が必要。

もし $a^2 - 1 < 0$ すなわち $-1 < a < 1$ ならば、$\frac{1 - a^2}{|a|} = \frac{a^2 - 1}{a}$より、$a < 0$. このとき、$-1 < a < 0$.

接するのは重解をもつときなので、$x$ の2次方程式が重解を持つ条件を考えれば、$x=0$の解ともう一つの解が一致するとき、すなわち$2a^2 - 1 = 0$のとき、重解を持つ。

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$a \neq 0, \pm 1$より、この値は除外されない。

しかし、接する条件は判別式 $=0$.

(2)

$\sqrt{a^2 - x} > ax - a$

まず根号の中身が非負である必要があるので、$a^2 - x \ge 0$ より $x \le a^2$.

$a < -1$ より、$ax - a = a(x - 1)$.

$x = 1$ のとき、$a(x - 1) = 0$ より、$\sqrt{a^2 - x} = \sqrt{a^2 - 1} > 0$ より $x = 1$ は解。

$x > 1$ のとき、$ax - a < 0$. $\sqrt{a^2 - x} > 0$ より、$x \le a^2$ であれば常に成立する。

$x < 1$ のとき、$ax - a > 0$. 両辺を2乗して、

$a^2 - x > a^2x^2 - 2a^2x + a^2$

$0 > a^2x^2 - (2a^2 - 1)x$

$0 > x(a^2x - (2a^2 - 1))$

$x(a^2x - (2a^2 - 1)) < 0$

$x = 0$ または $x = \frac{2a^2 - 1}{a^2}$

$0 < x < \frac{2a^2 - 1}{a^2} = 2 - \frac{1}{a^2}$

$2 - \frac{1}{a^2} < 1$ ならば、$0 < x < a^2$

$1 < \frac{1}{a^2}$

$a^2 < 1$. これは $a < -1$ より成り立たない。

$x < 1$ より、解は $0 < x < 1$.

3. 最終的な答え

(1) $a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $x < 2 - \frac{1}{a^2}$

$x \le a^2$より、$x < 2 - \frac{1}{a^2}$.

$a < -1$ より $x < 2 - 1/a^2$.

Since $a^2 > 1$, $0 < 1/a^2 < 1$ thus $1 < 2 - 1/a^2 < 2$.

Also $a^2 > 1$, so $x < a^2$. Therefore $x < 2 - \frac{1}{a^2}$

Final Answer: The final answer is $\boxed{x<a^2}$