$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を用いることができます。

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}x}{\frac{d}{dx}e^x}$

$\frac{d}{dx}x = 1$ であり、$\frac{d}{dx}e^x = e^x$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x}$

$x \to \infty$ のとき、$e^x \to \infty$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0$

3. 最終的な答え

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