与えられた極限 $\lim_{x \to +0} \frac{(\log x + 1)^2}{4x}$ を計算します。ここで $\log x$ は自然対数とします。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to +0} \frac{(\log x + 1)^2}{4x}$

を計算します。ここで $\log x$ は自然対数とします。

2. 解き方の手順

$x \to +0$ のとき、$\log x \to -\infty$ となるため、$(\log x + 1)^2 \to \infty$ となり、また $4x \to 0$ となります。したがって、$\frac{\infty}{0}$ の形となり、分子は正で、分母も正なので、極限は $\infty$ となります。

もう少し厳密に議論するために、例えば $x = e^{-t}$ とおくと、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$ となり、$\log x = -t$ なので、

$$\lim_{x \to +0} \frac{(\log x + 1)^2}{4x} = \lim_{t \to \infty} \frac{(-t+1)^2}{4e^{-t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{(t-1)^2}{4e^{-t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{t^2 - 2t + 1}{4e^{-t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{e^t (t^2 - 2t + 1)}{4}$$

ここで、ロピタルの定理を適用します。

$$\lim_{t \to \infty} \frac{e^t (t^2 - 2t + 1)}{4} = \frac{1}{4} \lim_{t \to \infty} e^t (t^2 - 2t + 1)$$

$e^t$ は $\infty$ に発散し、$t^2 - 2t + 1$ も $\infty$ に発散するので、極限は $\infty$ に発散します。

3. 最終的な答え

$\infty$