(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+2x}}{x}$ の極限値を求めよ。 (2) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 + 4x - 12} = \frac{3}{4}$ を満たす定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+2x}}{x}$ の極限値を求めよ。

(2) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 + 4x - 12} = \frac{3}{4}$ を満たす定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 分子を有理化することで極限値を求める。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+2x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1-x} - \sqrt{1+2x})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+2x})}{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+2x})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(1-x) - (1+2x)}{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+2x})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+2x})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-3}{\sqrt{1-x} + \sqrt{1+2x}}$

$= \frac{-3}{\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0}} = \frac{-3}{1+1} = \frac{-3}{2}$

(2) $x \to -2$ のとき、分母 $x^2 + 4x - 12$ は $(-2)^2 + 4(-2) - 12 = 4 - 8 - 12 = -16$ ではなく$0$に近づくので、分子も0に近づかなければ極限値は存在しない。したがって、

$(-2)^2 + a(-2) + b = 0$

$4 - 2a + b = 0$

$b = 2a - 4$

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 2a - 4}{x^2 + 4x - 12} = \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 2a - 4}{(x+6)(x-2)}$

分子は $x = -2$ を解に持つので、$x+2$ を因数に持つはずである。

$x^2 + ax + 2a - 4 = (x+2)(x+a-2)$ と因数分解できる。

$\lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x+a-2)}{(x+6)(x-2)} = \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x+a-2)}{(x+6)(x-2)} = \frac{0}{0}$ と不定形になることを避けるため、

$x^2 + ax + 2a - 4 = (x+2)(x+a-2)$ で良いか確認する。

$(x+2)(x+a-2) = x^2 + (a-2)x + 2a - 4$ となるので、あっている。

ここで、$x^2 + 4x - 12 = (x+6)(x-2) = (x+6)(x+2-4)$ となるので、

$\lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x+a-2)}{(x+6)(x-2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x+a-2}{x+6}$

$= \frac{-2+a-2}{-2+6} = \frac{a-4}{4}$

$\frac{a-4}{4} = \frac{3}{4}$ より、

$a-4 = 3$

$a = 7$

$b = 2a - 4 = 2(7) - 4 = 14 - 4 = 10$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2}$

(2) $a=7, b=10$