関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$ ($x > 0$) の連続性を調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$ ($x > 0$) の連続性を調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$ を計算します。$x$ の値によって場合分けを行います。

* $0 < x < 1$ のとき、$x^{2n} \to 0$ ($n \to \infty$) なので、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}} = \frac{0}{1+0} = 0$

* $x = 1$ のとき、

$f(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{2n+1}}{1+1^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

* $x > 1$ のとき、$x^{2n}$ で分子と分母を割ると、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{\frac{1}{x^{2n}}+1} = \frac{x}{0+1} = x$

したがって、関数 $f(x)$ は次のように表されます。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (0 < x < 1) \\ \frac{1}{2} & (x=1) \\ x & (x>1) \end{cases}$

次に、$f(x)$ の連続性を調べます。

* $0 < x < 1$ では、$f(x) = 0$ であり、これは連続です。

* $x > 1$ では、$f(x) = x$ であり、これは連続です。

* $x=1$ における連続性を調べます。

$\lim_{x \to 1-0} f(x) = 0$

$\lim_{x \to 1+0} f(x) = 1$

$f(1) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 1-0} f(x) \neq f(1) \neq \lim_{x \to 1+0} f(x)$ であるため、$x=1$ で不連続です。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $0 < x < 1$ および $x > 1$ で連続であり、$x=1$ で不連続です。