与えられた6つの関数に対して、微分を計算する問題です。それぞれの関数は以下の通りです。 (1) $\sqrt{x(x+1)}$ (2) $\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2}$ (3) $\frac{\log x}{x^2}$ (4) $\frac{2\cos x}{\sin x}$ (5) $e^x \tan x$ (6) $3^x \log_3 x$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数に対して、微分を計算する問題です。それぞれの関数は以下の通りです。

(1) $\sqrt{x(x+1)}$

(2) $\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2}$

(3) $\frac{\log x}{x^2}$

(4) $\frac{2\cos x}{\sin x}$

(5) $e^x \tan x$

(6) $3^x \log_3 x$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{x(x+1)} = (x^2+x)^{1/2}$

連鎖律（chain rule）を用いて微分します。

$\frac{d}{dx} (x^2+x)^{1/2} = \frac{1}{2}(x^2+x)^{-1/2} \cdot (2x+1) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}} = \frac{2x+1}{2\sqrt{x(x+1)}}$

(2) $\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2} = x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x + 1 + x^{-1} + x^{-2}$

各項を個別に微分します。

$\frac{d}{dx}(x + 1 + x^{-1} + x^{-2}) = 1 + 0 - x^{-2} - 2x^{-3} = 1 - \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$

(3) $\frac{\log x}{x^2}$

商の微分法（quotient rule）を用いて微分します。

$\frac{d}{dx} \frac{\log x}{x^2} = \frac{(\frac{1}{x})x^2 - (\log x)(2x)}{(x^2)^2} = \frac{x - 2x\log x}{x^4} = \frac{1 - 2\log x}{x^3}$

(4) $\frac{2\cos x}{\sin x} = 2 \cot x$

$\frac{d}{dx} 2 \cot x = 2(-\csc^2 x) = -2\csc^2 x = -\frac{2}{\sin^2 x}$

(5) $e^x \tan x$

積の微分法（product rule）を用いて微分します。

$\frac{d}{dx} e^x \tan x = e^x \tan x + e^x (\sec^2 x) = e^x (\tan x + \sec^2 x)$

(6) $3^x \log_3 x = 3^x \frac{\ln x}{\ln 3}$

積の微分法を用いて微分します。

$\frac{d}{dx} 3^x \frac{\ln x}{\ln 3} = \frac{d}{dx} \frac{3^x \ln x}{\ln 3} = \frac{3^x (\ln 3) \ln x + 3^x \frac{1}{x}}{\ln 3} = 3^x \ln x + \frac{3^x}{x \ln 3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2x+1}{2\sqrt{x(x+1)}}$

(2) $1 - \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$

(3) $\frac{1 - 2\log x}{x^3}$

(4) $-\frac{2}{\sin^2 x}$

(5) $e^x (\tan x + \sec^2 x)$

(6) $3^x \ln x + \frac{3^x}{x \ln 3}$