問題4：関数 $f(x) = (2x - \frac{2}{3})e^{-3x+1}$ の $x = \frac{1}{3}$ におけるテイラー展開を $f(x) = a_0 + a_1(x - \frac{1}{3}) + a_2(x - \frac{1}{3})^2 + a_3(x - \frac{1}{3})^3 + R_4(x)$ と表すとき、$a_0, a_1, a_2, a_3$ を求めよ。 問題5： (1) 関数 $f(x) = \cos x \sin x$ のマクローリン級数を $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ とするとき、$a_1$ および $a_5$ を求めよ。 (2) 関数 $g(x) = \frac{1 - x^3}{1 + x^2}$ のマクローリン級数を $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ とするとき、$b_1$ を求めよ。さらに、正の整数 $n = 1, 2, \dots$ に対して、$b_{4n} + b_{4n+1}$ および $b_{4n-1} + b_{4n}$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題4：関数 $f(x) = (2x - \frac{2}{3})e^{-3x+1}$ の $x = \frac{1}{3}$ におけるテイラー展開を

$f(x) = a_0 + a_1(x - \frac{1}{3}) + a_2(x - \frac{1}{3})^2 + a_3(x - \frac{1}{3})^3 + R_4(x)$ と表すとき、$a_0, a_1, a_2, a_3$ を求めよ。

問題5：

(1) 関数 $f(x) = \cos x \sin x$ のマクローリン級数を $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ とするとき、$a_1$ および $a_5$ を求めよ。

(2) 関数 $g(x) = \frac{1 - x^3}{1 + x^2}$ のマクローリン級数を $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ とするとき、$b_1$ を求めよ。さらに、正の整数 $n = 1, 2, \dots$ に対して、$b_{4n} + b_{4n+1}$ および $b_{4n-1} + b_{4n}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問題4：

テイラー展開の係数は以下の式で求められる。

$a_n = \frac{f^{(n)}(\frac{1}{3})}{n!}$

まず、$f(x) = (2x - \frac{2}{3})e^{-3x+1}$ を計算する。

$a_0 = f(\frac{1}{3}) = (2(\frac{1}{3}) - \frac{2}{3})e^{-3(\frac{1}{3})+1} = 0$

$f'(x) = 2e^{-3x+1} + (2x - \frac{2}{3})(-3)e^{-3x+1} = (2 - 6x + 2)e^{-3x+1} = (4 - 6x)e^{-3x+1}$

$a_1 = f'(\frac{1}{3}) = (4 - 6(\frac{1}{3}))e^{-3(\frac{1}{3})+1} = (4 - 2)e^0 = 2$

$f''(x) = -6e^{-3x+1} + (4 - 6x)(-3)e^{-3x+1} = (-6 - 12 + 18x)e^{-3x+1} = (18x - 18)e^{-3x+1}$

$a_2 = \frac{f''(\frac{1}{3})}{2!} = \frac{(18(\frac{1}{3}) - 18)e^{-3(\frac{1}{3})+1}}{2} = \frac{(6 - 18)e^0}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$f'''(x) = 18e^{-3x+1} + (18x - 18)(-3)e^{-3x+1} = (18 - 54x + 54)e^{-3x+1} = (72 - 54x)e^{-3x+1}$

$a_3 = \frac{f'''(\frac{1}{3})}{3!} = \frac{(72 - 54(\frac{1}{3}))e^{-3(\frac{1}{3})+1}}{6} = \frac{(72 - 18)e^0}{6} = \frac{54}{6} = 9$

問題5：

(1) $f(x) = \cos x \sin x = \frac{1}{2} \sin 2x$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \dots = 2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} - \dots = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 - \dots$

$f(x) = \frac{1}{2} (2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 - \dots) = x - \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 - \dots$

$a_1 = 1$, $a_5 = \frac{2}{15}$

(2) $g(x) = \frac{1 - x^3}{1 + x^2} = (1 - x^3) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = (1 - x^3)(1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots - x^3 + x^5 - x^7 + x^9 - \dots = 1 + 0x - x^2 - x^3 + x^4 + x^5 - x^6 - x^7 + \dots$

$b_1 = 0$

$b_{4n} = 1, b_{4n+1} = 1, b_{4n+2} = -1, b_{4n+3} = -1$ (符号は交互に変化)

$b_{4n} + b_{4n+1} = 1 - 1 = 0$

$b_{4n-1} + b_{4n} = -1 + 1 = 0$

3. 最終的な答え

問題4：

$a_0 = 0$

$a_1 = 2$

$a_2 = -6$

$a_3 = 9$

問題5：

(1) $a_1 = 1$, $a_5 = \frac{2}{15}$

(2) $b_1 = 0$, $b_{4n} + b_{4n+1} = 0$, $b_{4n-1} + b_{4n} = 0$