関数 $f(\theta) = -(\cos{\theta})^2 - \sin{\theta} + 2$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最小値と最大値を求め、それぞれを与える$\theta$の値を求める問題です。

解析学三角関数最大値最小値微分積分
2025/7/25

1. 問題の内容

関数 f(θ)=(cosθ)2sinθ+2f(\theta) = -(\cos{\theta})^2 - \sin{\theta} + 2π2θπ2-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} における最小値と最大値を求め、それぞれを与えるθ\thetaの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、cos2θ=1sin2θ\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta} を用いて関数をsinθ\sin{\theta} の関数として表します。
f(θ)=(1sin2θ)sinθ+2f(\theta) = -(1 - \sin^2{\theta}) - \sin{\theta} + 2
f(θ)=1+sin2θsinθ+2f(\theta) = -1 + \sin^2{\theta} - \sin{\theta} + 2
f(θ)=sin2θsinθ+1f(\theta) = \sin^2{\theta} - \sin{\theta} + 1
ここで、t=sinθt = \sin{\theta} とおくと、π2θπ2-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} より 1t1-1 \le t \le 1 となります。
f(t)=t2t+1f(t) = t^2 - t + 1
この関数を平方完成します。
f(t)=(t12)2+34f(t) = (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}
f(t)f(t) は下に凸な放物線であり、軸は t=12t = \frac{1}{2} です。
1t1-1 \le t \le 1 の範囲で、t=12t = \frac{1}{2} のとき最小値 34\frac{3}{4} をとります。
t=12t = \frac{1}{2} のとき、sinθ=12\sin{\theta} = \frac{1}{2} であるから、θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} となります。
また、t=1t = -1 のとき最大値をとります。
f(1)=(1)2(1)+1=1+1+1=3f(-1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
t=1t = -1 のとき、sinθ=1\sin{\theta} = -1 であるから、θ=π2\theta = -\frac{\pi}{2} となります。

3. 最終的な答え

θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} で最小値 34\frac{3}{4} をとり、θ=π2\theta = -\frac{\pi}{2} で最大値 33 をとります。

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