関数 $f(\theta) = -(\cos{\theta})^2 - \sin{\theta} + 2$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最小値と最大値を求め、それぞれを与える$\theta$の値を求める問題です。
2025/7/25
1. 問題の内容
関数 の における最小値と最大値を求め、それぞれを与えるの値を求める問題です。
2. 解き方の手順
まず、 を用いて関数を の関数として表します。
ここで、 とおくと、 より となります。
この関数を平方完成します。
は下に凸な放物線であり、軸は です。
の範囲で、 のとき最小値 をとります。
のとき、 であるから、 となります。
また、 のとき最大値をとります。
のとき、 であるから、 となります。
3. 最終的な答え
で最小値 をとり、 で最大値 をとります。