次の関数の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x + \sqrt{2-x^2}$ (3) $y = \sin^3 x + \cos^3 x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$)

1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = x + \sqrt{2-x^2}$

(3) $y = \sin^3 x + \cos^3 x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x + \sqrt{2-x^2}$ について

まず、定義域を考えます。根号の中身が0以上である必要があるため、$2-x^2 \ge 0$ より、$x^2 \le 2$。したがって、$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$。

次に、微分して増減を調べます。

$y' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{2-x^2}} \cdot (-2x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 = \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$

$\sqrt{2-x^2} = x$

$2-x^2 = x^2$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$の範囲で、$x = 1$ と $x = -1$ が候補となります。ただし、$x = \sqrt{2-x^2}$より、$x$は正の値を取る必要があります。よって、$x = 1$のみ考えれば良い。

増減表を書きます。

$x$ | $-\sqrt{2}$ | ... | $1$ | ... | $\sqrt{2}$

---|---|---|---|---|---

$y'$ | | + | $0$ | - |

$y$ | $-\sqrt{2}$ | ↑ | $2$ | ↓ | $\sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ のとき、$y = -\sqrt{2} + \sqrt{2-(-\sqrt{2})^2} = -\sqrt{2}$

$x = 1$ のとき、$y = 1 + \sqrt{2-1^2} = 1 + 1 = 2$

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y = \sqrt{2} + \sqrt{2-(\sqrt{2})^2} = \sqrt{2}$

したがって、最大値は $2$、最小値は $-\sqrt{2}$です。

(3) $y = \sin^3 x + \cos^3 x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$)について

$y = \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)$

ここで、$t = \sin x + \cos x$ とおくと、$t^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$ より、$\sin x \cos x = \frac{t^2-1}{2}$。

また、$t = \sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4})$ であり、$0 \le x \le \pi$ より $\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$ であるから、$-1 \le \sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 1$ より、$-1 \le t/\sqrt{2} \le 1$。

したがって、$-1 \le t \le \sqrt{2}$。

$y = t(1 - \frac{t^2-1}{2}) = t(\frac{3-t^2}{2}) = \frac{3t - t^3}{2}$

$y' = \frac{3 - 3t^2}{2} = \frac{3}{2}(1 - t^2)$

$y' = 0$ となる $t$ を求めます。

$1 - t^2 = 0$

$t^2 = 1$

$t = \pm 1$

$y' = \frac{3}{2}(1-t)(1+t)$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$の範囲で、$t = 1$ と $t = -1$ が候補となります。

増減表を書きます。

$t$ | $-1$ | ... | $1$ | ... | $\sqrt{2}$

---|---|---|---|---|---

$y'$ | $0$ | + | $0$ | - |

$y$ | $-1$ | ↑ | $1$ | ↓ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$

$t = -1$ のとき、$y = \frac{3(-1) - (-1)^3}{2} = \frac{-3+1}{2} = -1$

$t = 1$ のとき、$y = \frac{3(1) - (1)^3}{2} = \frac{3-1}{2} = 1$

$t = \sqrt{2}$ のとき、$y = \frac{3\sqrt{2} - (\sqrt{2})^3}{2} = \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、最大値は $1$、最小値は $-1$です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $2$, 最小値: $-\sqrt{2}$

(3) 最大値: $1$, 最小値: $-1$