問題は、関数 $g(x) = x^2 - 2x + 2$ で定義される曲線 C と、C 上の点 P(t, g(t)) における接線 l について、いくつかの値を求めるものです。 また、関数 $h(x) = \frac{1}{2}x^2 - a$ で定義される曲線 D と、曲線 C, D および2直線 $x = 0, x = t$ で囲まれた図形の面積 T を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、関数 $g(x) = x^2 - 2x + 2$ で定義される曲線 C と、C 上の点 P(t, g(t)) における接線 l について、いくつかの値を求めるものです。

また、関数 $h(x) = \frac{1}{2}x^2 - a$ で定義される曲線 D と、曲線 C, D および2直線 $x = 0, x = t$ で囲まれた図形の面積 T を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) C 上の点 P(t, g(t)) における接線 l の傾きを求める。

$g'(x) = 2x - 2$ より、l の傾きは $g'(t) = 2t - 2$ である。

(2) 接線 l の方程式を求める。

l の方程式は $y - g(t) = g'(t)(x - t)$ となる。

$y - (t^2 - 2t + 2) = (2t - 2)(x - t)$

$y = (2t - 2)x - 2t^2 + 2t + t^2 - 2t + 2$

$y = (2t - 2)x - t^2 + 2$

(3) 接線 l と y 軸の交点 B の y 座標を求める。

x = 0 を代入すると、$y = -t^2 + 2$ となる。したがって、B(0, -t^2+2) である。

(4) 三角形 ABP の面積 S を求める。

点 A の座標は (0, 6) であり、AB の長さは $|6 - (-t^2 + 2)| = |t^2 + 4| = t^2+4$ である。

点 P の x 座標は t であり、三角形 ABP の高さは t である。

したがって、$S = \frac{1}{2} \times (t^2+4) \times t = \frac{1}{2}t^3 + 2t$ である。

(5) 面積 T を求める。

$T = \int_0^t [g(x) - h(x)] dx$ が正しいので選択肢は (2)

$T = \int_0^t (x^2 - 2x + 2 - (\frac{1}{2}x^2 - a)) dx$

$T = \int_0^t (\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 + a) dx$

$T = [\frac{1}{6}x^3 - x^2 + (2+a)x]_0^t$

$T = \frac{1}{6}t^3 - t^2 + (2+a)t$

(6) $S - T = \frac{1}{2}t^3 + 2t - (\frac{1}{6}t^3 - t^2 + (2+a)t) = \frac{1}{3}t^3 + t^2 -at$

$S-T$ は $t=1$ で最小値をとるので、$f(t) = \frac{1}{3}t^3 + t^2 -at$ とおくと、$f'(1)=0$ である。

$f'(t) = t^2 + 2t - a$

$f'(1) = 1 + 2 - a = 0$

$a = 3$

(7) $S-T$ の最小値を求める。

$S - T = \frac{1}{3}t^3 + t^2 - 3t$

$t = 1$ を代入すると、$S - T = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} + 1 - 3 = -\frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

* タ: 2t-2

* チ: 2t-2

* ツ: -t^2+2

* テ: 1/2

* ト: 2

* ナ: 2

* ニ: 2

* ヌ: 1/6

* ネ: 2

* ノ: 3

* ハヒ: -5

* フ: 3