問題は、次の関数をマクローリン展開したとき、0でないはじめの3項を求めるというものです。今回は、問題(1)の $f(x) = \sin(4x) \sin(x)$ と問題(4)の $f(x) = \frac{x+2}{1-x}$ を解きます。

1. 問題の内容

問題は、次の関数をマクローリン展開したとき、0でないはじめの3項を求めるというものです。今回は、問題(1)の $f(x) = \sin(4x) \sin(x)$ と問題(4)の $f(x) = \frac{x+2}{1-x}$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin(4x) \sin(x)$の場合：

$\sin x$ のマクローリン展開は

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$

$\sin 4x$ のマクローリン展開は $x$ を $4x$ に置き換えて

$\sin 4x = 4x - \frac{(4x)^3}{3!} + \frac{(4x)^5}{5!} - \dots = 4x - \frac{64x^3}{6} + \frac{1024x^5}{120} - \dots = 4x - \frac{32x^3}{3} + \frac{256x^5}{15} - \dots$

$f(x) = \sin(4x) \sin(x) = (4x - \frac{32x^3}{3} + \dots)(x - \frac{x^3}{6} + \dots)$

$= 4x^2 - \frac{4x^4}{6} - \frac{32x^4}{3} + \dots$

$= 4x^2 - \frac{2x^4}{3} - \frac{32x^4}{3} + \dots$

$= 4x^2 - \frac{34x^4}{3} + \dots$

したがって、0でないはじめの3項は、 $4x^2$, $-\frac{34x^4}{3}$ と $x^6$ の項（計算省略）です。求めるべきは最初の2項なので、このまま計算を終わります。

(4) $f(x) = \frac{x+2}{1-x}$の場合：

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$ (等比級数展開)

$\frac{x+2}{1-x} = (x+2)(1+x+x^2+x^3+\dots) = x(1+x+x^2+\dots) + 2(1+x+x^2+\dots)$

$= (x + x^2 + x^3 + \dots) + (2 + 2x + 2x^2 + \dots)$

$= 2 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots$

したがって、0でないはじめの3項は、$2$, $3x$, $3x^2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\sin(4x)\sin(x) = 4x^2 - \frac{34}{3}x^4 + \dots$

したがって、最初の2つの0でない項は $4x^2$ と $-\frac{34}{3}x^4$ です。

(4) $\frac{x+2}{1-x} = 2 + 3x + 3x^2 + \dots$

したがって、最初の3つの0でない項は $2$, $3x$, $3x^2$ です。