与えられた3次関数 $y = -x^3 - 3x^2 + 8x$ について、増減表を作成し、グラフを描き、極値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3次関数 $y = -x^3 - 3x^2 + 8x$ について、増減表を作成し、グラフを描き、極値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = -3x^2 - 6x + 8$

次に、導関数が0となる $x$ を求めます。これは極値の候補となる点です。

$-3x^2 - 6x + 8 = 0$

$3x^2 + 6x - 8 = 0$

この2次方程式を解くために、解の公式を使用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=3$, $b=6$, $c=-8$ なので、

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(3)(-8)}}{2(3)}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 96}}{6}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{132}}{6}$

$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{33}}{6}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{3}$

したがって、$x = \frac{-3 + \sqrt{33}}{3} \approx 0.915$ と $x = \frac{-3 - \sqrt{33}}{3} \approx -2.915$ が求まります。

これらを$x_1$と$x_2$とすると、$x_1 = 0.915$, $x_2 = -2.915$

次に、増減表を作成します。増減表では、$x$ の値、$dy/dx$ の符号、$y$ の増減を調べます。

- $x < -2.915$ のとき、$dy/dx < 0$ なので、$y$ は減少します。

- $x = -2.915$ のとき、$dy/dx = 0$ なので、$y$ は極小値を取ります。

- $-2.915 < x < 0.915$ のとき、$dy/dx > 0$ なので、$y$ は増加します。

- $x = 0.915$ のとき、$dy/dx = 0$ なので、$y$ は極大値を取ります。

- $x > 0.915$ のとき、$dy/dx < 0$ なので、$y$ は減少します。

極値を求めます。

極小値は、$x = \frac{-3 - \sqrt{33}}{3}$のとき、$y = -(\frac{-3 - \sqrt{33}}{3})^3 - 3(\frac{-3 - \sqrt{33}}{3})^2 + 8(\frac{-3 - \sqrt{33}}{3}) \approx -2.344$

極大値は、$x = \frac{-3 + \sqrt{33}}{3}$のとき、$y = -(\frac{-3 + \sqrt{33}}{3})^3 - 3(\frac{-3 + \sqrt{33}}{3})^2 + 8(\frac{-3 + \sqrt{33}}{3}) \approx 4.09$

3. 最終的な答え

極大値：$x \approx 0.915$ で $y \approx 4.09$

極小値：$x \approx -2.915$ で $y \approx -2.344$