$a$ は定数とし、$f(x)$ は $x=a$ で微分可能とする。 以下の極限を $f'(a)$ を用いて表す。 (1) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a+2h)-f(a)}{h}$ (2) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{h}$ (3) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}$

1. 問題の内容

$a$ は定数とし、$f(x)$ は $x=a$ で微分可能とする。

以下の極限を $f'(a)$ を用いて表す。

(1) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a+2h)-f(a)}{h}$

(2) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{h}$

(3) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+2h)-f(a)}{h}$ において、$2h = t$ と置くと、$h \to 0$ のとき $t \to 0$。したがって、

$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+2h)-f(a)}{h} = \lim_{t\to 0} \frac{f(a+t)-f(a)}{t/2} = 2\lim_{t\to 0} \frac{f(a+t)-f(a)}{t} = 2f'(a)$

(2)

$\lim_{h\to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{h}$ において、$-h = t$ と置くと、$h \to 0$ のとき $t \to 0$。したがって、

$\lim_{h\to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{h} = \lim_{t\to 0} \frac{f(a+t)-f(a)}{-t} = -\lim_{t\to 0} \frac{f(a+t)-f(a)}{t} = -f'(a)$

(3)

$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}$ を変形する。

$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a) + f(a) - f(a-h)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} + \lim_{h\to 0} \frac{f(a) - f(a-h)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} - \lim_{h\to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{h}$

$= f'(a) - (-f'(a)) = 2f'(a)$

3. 最終的な答え

(1) $2f'(a)$

(2) $-f'(a)$

(3) $2f'(a)$