与えられた極限の値を求めます。問題は、 $\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{1-x} - \frac{1}{\log x} \right) (x-1)$ です。

1. 問題の内容

与えられた極限の値を求めます。問題は、

$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{1-x} - \frac{1}{\log x} \right) (x-1)$

です。

2. 解き方の手順

与えられた極限を計算するために、まず式を整理します。

$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{1-x} - \frac{1}{\log x} \right) (x-1) = \lim_{x \to 1} \left( \frac{x \log x - (1-x)}{(1-x)\log x} \right) (x-1) = \lim_{x \to 1} \frac{x \log x - (1-x)}{(1-x)\log x} (x-1)$

ここで、$x = 1 + h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h) - (-h)}{(-h)\log(1+h)} h = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h) + h}{-h\log(1+h)} h = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h) + h}{-\log(1+h)}$

$\log(1+h) = h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots$ を代入すると、

$\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)(h-\frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots) + h}{-(h-\frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots)} = \lim_{h \to 0} \frac{h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} + h^2 - \frac{h^3}{2} + \cdots + h}{-h + \frac{h^2}{2} - \frac{h^3}{3} + \cdots} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + \frac{h^2}{2} - \frac{h^3}{6} + \cdots}{-h + \frac{h^2}{2} - \frac{h^3}{3} + \cdots} = \lim_{h \to 0} \frac{h(2 + \frac{h}{2} - \frac{h^2}{6} + \cdots)}{h(-1 + \frac{h}{2} - \frac{h^2}{3} + \cdots)} = \lim_{h \to 0} \frac{2 + \frac{h}{2} - \frac{h^2}{6} + \cdots}{-1 + \frac{h}{2} - \frac{h^2}{3} + \cdots} = \frac{2}{-1} = -2$

3. 最終的な答え

-2