区分関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 8ax + 3 & (x \le 1) \\ \log_a x & (x > 1) \end{cases}$ $f(x)$ が実数全体 $\mathbb{R}$ 上で単調減少であるとき、実数 $a$ の取り得る値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

区分関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 8ax + 3 & (x \le 1) \\ \log_a x & (x > 1) \end{cases}$

$f(x)$ が実数全体 $\mathbb{R}$ 上で単調減少であるとき、実数 $a$ の取り得る値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x)$ が単調減少であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

(1) $x \le 1$ のとき、$2x^2 - 8ax + 3$ が単調減少であること。

(2) $x > 1$ のとき、$\log_a x$ が単調減少であること。

(3) $x=1$ で連続であること。

(1) $f_1(x) = 2x^2 - 8ax + 3$ について、$x \le 1$ で単調減少となる条件を考えます。

$f_1'(x) = 4x - 8a$

$f_1'(x) \le 0$ となるのは、$4x - 8a \le 0$、つまり $x \le 2a$ のときです。

$x \le 1$ で単調減少であるためには、$2a \ge 1$ が必要です。よって、$a \ge \frac{1}{2}$。

$x \le 1$ の範囲における最小値は $x=1$ のときなので、$f_1(1) = 2 - 8a + 3 = 5 - 8a$

(2) $f_2(x) = \log_a x$ について、$x > 1$ で単調減少となる条件を考えます。

$\log_a x$ が単調減少となるためには、$0 < a < 1$ である必要があります。

(3) $x=1$ での連続性を考えます。

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1)^2 - 8a(1) + 3 = 5 - 8a$

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \log_a 1 = 0$

したがって、$5 - 8a \ge 0$ が必要です。

$8a \le 5$ より、$a \le \frac{5}{8}$。

以上の条件から、$a$ の範囲は以下のようになります。

$a \ge \frac{1}{2}$

$0 < a < 1$

$a \le \frac{5}{8}$

したがって、$\frac{1}{2} \le a \le \frac{5}{8}$ となります。

3. 最終的な答え

C. $[\frac{1}{2}, \frac{5}{8}]$