与えられた関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法（連鎖律）を利用します。

$\log$の底が明示されていませんが、自然対数$\log_e = \ln$であると仮定して計算します。

連鎖律とは、$y = f(g(x))$のとき、$dy/dx = f'(g(x)) \cdot g'(x)$となる規則です。

(1) まず、外側の関数 $\log u$ を $u$ で微分します。

$(\log u)' = \frac{1}{u}$

(2) 次に、内側の関数 $u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 1}) = 1 + \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 1}$

$\sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{1/2}$ なので、ここでも連鎖律を使います。

$\frac{d}{dx} (x^2 + 1)^{1/2} = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

したがって、

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

(3) 最後に、$y'$ を計算します。

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$