与えられた極限 $\lim_{x \to -\infty} (1-x)^{1/x}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to -\infty} (1-x)^{1/x}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$y = (1-x)^{1/x}$ とおきます。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln (1-x)^{1/x} = \frac{1}{x} \ln (1-x)$

となります。

したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \ln y = \lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (1-x)}{x}$

となります。

ここで、$x \to -\infty$のとき、$1-x \to \infty$なので、$\ln (1-x) \to \infty$であり、$x \to -\infty$なので、$\frac{\infty}{-\infty}$の不定形です。したがって、ロピタルの定理が使えます。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (1-x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{d}{dx} \ln (1-x)}{\frac{d}{dx} x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{-1}{1-x}}{1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{1-x} = 0$

したがって、$\lim_{x \to -\infty} \ln y = 0$となります。

よって、$\lim_{x \to -\infty} y = e^0 = 1$となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to -\infty} (1-x)^{1/x} = 1$