与えられた極限 $\lim_{x \to 1+0} (\log x)^{x-1}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to 1+0} (\log x)^{x-1}$

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限の形を確認します。$x \to 1+0$ のとき、$\log x \to 0$ であり、$x-1 \to 0$ です。したがって、これは $0^0$ の不定形です。

そこで、この極限を計算するために、対数を取ってから極限を計算します。

$y = (\log x)^{x-1}$ とおくと、

$\log y = (x-1) \log (\log x)$

となります。

ここで、$x-1 = t$ と置換すると、$x = t+1$ となり、$x \to 1+0$ のとき、$t \to 0+0$ となります。

よって、

$\lim_{x \to 1+0} \log y = \lim_{t \to 0+0} t \log (\log (t+1))$

ここで、$\log (1+t) \approx t$ ($t \to 0$ のとき) であることを用いると、

$\lim_{t \to 0+0} t \log (\log (t+1)) = \lim_{t \to 0+0} t \log (t)$

となります。

ここで、$t \log t$ の極限を考えます。

$t = \frac{1}{u}$ と置換すると、$t \to 0+0$ のとき、$u \to \infty$ となり、

$\lim_{t \to 0+0} t \log t = \lim_{u \to \infty} \frac{1}{u} \log \left(\frac{1}{u}\right) = \lim_{u \to \infty} \frac{-\log u}{u} = 0$

（ロピタルの定理より）

したがって、

$\lim_{x \to 1+0} \log y = 0$

なので、

$\lim_{x \to 1+0} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 1+0} (\log x)^{x-1} = 1$