関数 $y = \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right)^2$ の導関数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right)^2$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を使います。$u = \frac{x^2-1}{x^2+1}$ と置くと、$y = u^2$ となります。

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = 2u = 2 \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right)$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。これは商の微分公式を使います。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right) = \frac{(2x)(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2}$

$= \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right) \cdot \frac{4x}{(x^2+1)^2} = \frac{8x(x^2-1)}{(x^2+1)^3}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{8x(x^2-1)}{(x^2+1)^3}$