関数 $y = (x-1)^2 \cdot \sqrt[3]{x+2}$ の導関数 $dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-1)^2 \cdot \sqrt[3]{x+2}$ の導関数 $dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。

まず、関数を $y = u \cdot v$ とおきます。ここで、

$u = (x-1)^2$

$v = \sqrt[3]{x+2} = (x+2)^{1/3}$

です。

積の微分公式は、

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx}$

です。

次に、$du/dx$と$dv/dx$を求めます。

$u = (x-1)^2$ より、

$\frac{du}{dx} = 2(x-1) \cdot 1 = 2(x-1)$

$v = (x+2)^{1/3}$ より、

$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{3}(x+2)^{-2/3} \cdot 1 = \frac{1}{3}(x+2)^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

上記の微分を積の微分公式に代入すると、

$\frac{dy}{dx} = 2(x-1)(x+2)^{1/3} + (x-1)^2 \cdot \frac{1}{3}(x+2)^{-2/3}$

$\frac{dy}{dx} = 2(x-1)\sqrt[3]{x+2} + \frac{(x-1)^2}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6(x-1)(x+2) + (x-1)^2}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(6(x+2) + (x-1))}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(6x+12 + x - 1)}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(7x+11)}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(7x+11)}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

または

$\frac{dy}{dx} = \frac{7x^2+4x-11}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$