与えられた関数 $y = \frac{\log x}{x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) グラフを描け (凹凸も調べよ)。 (2) この関数の最大値を求めよ。 (3) $e^\pi$ と $\pi^e$ はどちらが大きいか。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\log x}{x}$ について、以下の問いに答えます。

(1) グラフを描け (凹凸も調べよ)。

(2) この関数の最大値を求めよ。

(3) $e^\pi$ と $\pi^e$ はどちらが大きいか。

2. 解き方の手順

(1) グラフを描く（凹凸も調べる）

まず、定義域を確認します。対数関数 $\log x$ が定義されるためには、$x > 0$ である必要があります。

次に、導関数を計算します。

$y' = \frac{(\log x)' \cdot x - \log x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。$1 - \log x = 0$ より、$\log x = 1$ となり、$x = e$ です。

$x < e$ のとき $y' > 0$ であり、$x > e$ のとき $y' < 0$ であるから、$x = e$ で極大値を取ります。

次に、2階導関数を計算します。

$y'' = \frac{(1 - \log x)' \cdot x^2 - (1 - \log x) \cdot (x^2)'}{x^4} = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3 + 2 \log x}{x^3}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。$-3 + 2 \log x = 0$ より、$\log x = \frac{3}{2}$ となり、$x = e^{\frac{3}{2}}$ です。

$x < e^{\frac{3}{2}}$ のとき $y'' < 0$ であり、$x > e^{\frac{3}{2}}$ のとき $y'' > 0$ であるから、$x = e^{\frac{3}{2}}$ で変曲点を持ちます。

$x \to 0$ のとき、$y \to -\infty$ であり、$x \to \infty$ のとき、$y \to 0$ です。

以上の情報を基にグラフを描くことができます。

(2) 最大値を求める

$y' = 0$ となる $x$ は $x = e$ であり、$x = e$ で極大値を取ることが分かっているので、$x = e$ で最大値を取ります。

最大値は、$y(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ です。

(3) $e^\pi$ と $\pi^e$ はどちらが大きいか

$y = \frac{\log x}{x}$ のグラフを考えると、$f(x) = \frac{\log x}{x}$ とおくと、$f(e) = \frac{1}{e}$、$f(\pi) = \frac{\log \pi}{\pi}$ です。

$e^\pi > \pi^e$ であることを示すには、$\log(e^\pi) > \log(\pi^e)$ を示せば良いです。つまり、$\pi \log e > e \log \pi$ を示す必要があります。これは $\pi > e \log \pi$ と同値であり、$\frac{\log \pi}{\pi} < \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ を示すことと同じです。

関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ は $x = e$ で最大値をとるので、$e < \pi$ より、$f(e) > f(\pi)$ であることがわかります。

したがって、$e^\pi > \pi^e$ です。

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略します。$x=e$で極大値(最大値)を持ち、変曲点は$x=e^{3/2}$です。

(2) 最大値：$\frac{1}{e}$

(3) $e^\pi > \pi^e$