与えられた関数が極値を持つように、$a$ の値の範囲を求める。 (1) $y = x^3 + ax^2 + 6x - 3$ (2) $y = ax - \sin 3x$

1. 問題の内容

与えられた関数が極値を持つように、$a$ の値の範囲を求める。

(1) $y = x^3 + ax^2 + 6x - 3$

(2) $y = ax - \sin 3x$

2. 解き方の手順

関数が極値を持つためには、導関数が $0$ になる点が存在し、その前後で導関数の符号が変わる必要がある。

(1) $y = x^3 + ax^2 + 6x - 3$ の場合

まず、導関数を求める。

$y' = 3x^2 + 2ax + 6$

関数が極値を持つためには、$y'=0$ が異なる2つの実数解を持つ必要がある。

したがって、$y'=0$ の判別式 $D$ が正である必要がある。

$D = (2a)^2 - 4(3)(6) = 4a^2 - 72 > 0$

$a^2 > 18$

よって、$a < -3\sqrt{2}$ または $a > 3\sqrt{2}$

(2) $y = ax - \sin 3x$ の場合

まず、導関数を求める。

$y' = a - 3\cos 3x$

関数が極値を持つためには、$y'=0$ となる $x$ が存在し、$y'$ がその前後で符号を変える必要がある。

つまり、$y' = 0$ となる $x$ が存在する必要がある。

$a - 3\cos 3x = 0$

$\cos 3x = \frac{a}{3}$

$-1 \le \cos 3x \le 1$ であるから、$-1 \le \frac{a}{3} \le 1$ でなければならない。

また、$y'$ がその前後で符号を変える必要があるので、$\cos 3x = \pm 1$ となる場合は極値を持たない。

なぜなら、$y' = 0$ となる $x$ の近くで、$y'$ が正または負の値しか取らないからである。

したがって、$-1 < \frac{a}{3} < 1$ である必要がある。

$-3 < a < 3$

3. 最終的な答え

(1) $a < -3\sqrt{2}$ または $a > 3\sqrt{2}$

(2) $-3 < a < 3$