## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた4つの二変数関数の極限値を $(x, y) \to (0, 0)$ において求めます。

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{x^2 + y^4}$

(3) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$

(4) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} xy \log(x^2 + y^2)$

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2. 解き方の手順

(1) 極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用いる。

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2 \cos\theta \sin\theta)}{r}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いる。

$\lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2 \cos\theta \sin\theta)}{r} = \lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2 \cos\theta \sin\theta)}{r^2 \cos\theta \sin\theta} r\cos\theta \sin\theta = \lim_{r \to 0} r \cos\theta \sin\theta = 0$.

極限値は0である。

(2) 極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用いる。

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{x^2 + y^4} = \lim_{r \to 0} \frac{r\cos\theta (r\sin\theta)^3}{r^2\cos^2\theta + (r\sin\theta)^4} = \lim_{r \to 0} \frac{r^4 \cos\theta \sin^3\theta}{r^2(\cos^2\theta + r^2\sin^4\theta)} = \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos\theta \sin^3\theta}{\cos^2\theta + r^2\sin^4\theta}$

もし $\cos\theta \neq 0$ なら、$\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos\theta \sin^3\theta}{\cos^2\theta + r^2\sin^4\theta} = \frac{0}{\cos^2\theta} = 0$.

もし $\cos\theta = 0$ なら、$\cos\theta = 0$ より $\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$（n は整数）であるから、$\sin\theta = \pm 1$ となる。

$\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos\theta \sin^3\theta}{\cos^2\theta + r^2\sin^4\theta} = \lim_{r \to 0} \frac{0}{0 + r^2} = 0$.

極限値は0である。

(3) 極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用いる。

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2} = \lim_{r \to 0} \frac{r^3\cos^3\theta + r^3\sin^3\theta}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \lim_{r \to 0} \frac{r^3(\cos^3\theta + \sin^3\theta)}{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \lim_{r \to 0} \frac{r^3(\cos^3\theta + \sin^3\theta)}{r^2} = \lim_{r \to 0} r (\cos^3\theta + \sin^3\theta) = 0$.

極限値は0である。

(4) 極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用いる。

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} xy \log(x^2 + y^2) = \lim_{r \to 0} r\cos\theta r\sin\theta \log(r^2) = \lim_{r \to 0} r^2 \cos\theta \sin\theta \log(r^2)$

$r \to 0$ のとき、$\log(r^2) \to -\infty$ である。

$r^2 \log(r^2) = 2 r^2 \log(r)$ を考える。

$\lim_{r \to 0} r^2 \log(r) = 0$ である (ロピタルの定理を使うなどして示す)。

よって、$\lim_{r \to 0} r^2 \cos\theta \sin\theta \log(r^2) = 0$.

極限値は0である。

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3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 0

(3) 0

(4) 0