曲線 $y = 2e^x$ 上の点Pにおける接線が原点を通るとき、その接線の方程式を求める。

## (4) 曲線 $y = 2e^x$ 上のある点Pにおける接線 $l$ は原点を通る。この接線 $l$ の方程式。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2e^x$ 上の点Pにおける接線が原点を通るとき、その接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Pの座標を $(t, 2e^t)$ と置く。次に、曲線 $y = 2e^x$ を微分して、点Pにおける接線の傾きを求める。そして、点Pにおける接線の方程式を立てる。最後に、この接線が原点を通るという条件から $t$ の値を求め、接線の方程式を確定する。

* 曲線を微分する。

$y' = 2e^x$

* 点P $(t, 2e^t)$ における接線の傾きは $2e^t$ である。

* 点Pにおける接線の方程式は、

$y - 2e^t = 2e^t(x - t)$

$y = 2e^t x - 2te^t + 2e^t$

* この接線が原点(0,0)を通るので、

$0 = 2e^t(0) - 2te^t + 2e^t$

$0 = -2te^t + 2e^t$

* $e^t > 0$ より、両辺を $2e^t$ で割ると、

$0 = -t + 1$

$t = 1$

* $t=1$ を接線の方程式に代入する。

$y = 2e^1 x - 2(1)e^1 + 2e^1$

$y = 2ex - 2e + 2e$

$y = 2ex$

3. 最終的な答え

$y = 2ex$