与えられた極限を求める問題です。 $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2n}} \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \frac{1}{\sqrt{n+3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n+n}} \right)$$

1. 問題の内容

与えられた極限を求める問題です。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2n}} \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \frac{1}{\sqrt{n+3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n+n}} \right)$$

2. 解き方の手順

与えられた式をリーマン和の形に変形し、積分を用いて極限を計算します。

まず、式を以下のように書き換えます。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+k}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{k}{n}}}$$

ここで、$x_k = \frac{k}{n}$ とおくと、区間 $[0, 1]$ の分割が得られます。したがって、リーマン和の定義から、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{k}{n}}} = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx$$

積分を計算します。

$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx = \int_0^1 (1+x)^{-\frac{1}{2}} dx = \left[ 2(1+x)^{\frac{1}{2}} \right]_0^1 = 2(\sqrt{2} - 1)$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+k}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2(\sqrt{2} - 1) = 2 - \sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{2}$