与えられた数列 $a_n$ に対し、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するかどうかを調べる。具体的には、以下の8つの数列に対する級数の収束・発散を判定する。 (1) $a_n = \frac{n+1}{n^3 - n^2 + 2}$ (2) $a_n = \frac{n+2}{n^2 + 3n + 6}$ (3) $a_n = \frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n}$ (4) $a_n = \frac{1}{\log(n+1)}$ (5) $a_n = \frac{2^n}{n!}$ (6) $a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$ (7) $a_n = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ (8) $a_n = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$

はい、承知いたしました。問題文に示された8つの級数について、収束判定を行います。

1. 問題の内容

与えられた数列 $a_n$ に対し、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するかどうかを調べる。具体的には、以下の8つの数列に対する級数の収束・発散を判定する。

(1) $a_n = \frac{n+1}{n^3 - n^2 + 2}$

(2) $a_n = \frac{n+2}{n^2 + 3n + 6}$

(3) $a_n = \frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n}$

(4) $a_n = \frac{1}{\log(n+1)}$

(5) $a_n = \frac{2^n}{n!}$

(6) $a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$

(7) $a_n = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$

(8) $a_n = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \frac{n+1}{n^3 - n^2 + 2}$

$n$ が大きいとき、$a_n \approx \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$ となる。$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ は $p=2 > 1$ の $p$級数なので収束する。極限比較法を用いる。

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2(n+1)}{n^3 - n^2 + 2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3 + n^2}{n^3 - n^2 + 2} = 1$. よって $\sum a_n$ は収束する。

(2) $a_n = \frac{n+2}{n^2 + 3n + 6}$

$n$ が大きいとき、$a_n \approx \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$ となる。$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は発散する。極限比較法を用いる。

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n(n+2)}{n^2 + 3n + 6} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 3n + 6} = 1$. よって $\sum a_n$ は発散する。

(3) $a_n = \frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n}$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ なので、$a_n = \frac{1}{n} - \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{6n^3} + \frac{1}{120n^5} - \cdots\right) = \frac{1}{6n^3} - \frac{1}{120n^5} + \cdots$

$n$ が大きいとき、$a_n \approx \frac{1}{6n^3}$ となる。$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ は収束する。極限比較法を用いる。

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^3} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{n} - n^3 \sin\frac{1}{n} = \frac{1}{6}$. よって $\sum a_n$ は収束する。

(4) $a_n = \frac{1}{\log(n+1)}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\log(n+1)} = 0$ である。しかし、任意の $n$ について $\log(n+1) < n+1$ なので、$a_n = \frac{1}{\log(n+1)} > \frac{1}{n+1}$. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}$ は発散するので、比較判定法より $\sum a_n$ は発散する。

(5) $a_n = \frac{2^n}{n!}$

比判定法を用いる。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}$.

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0 < 1$. よって $\sum a_n$ は収束する。

(6) $a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$

比判定法を用いる。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{(n+1)^2}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{n+1}{4n+2}$.

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{4n+2} = \frac{1}{4} < 1$. よって $\sum a_n$ は収束する。

(7) $a_n = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$

根判定法を用いる。

$\sqrt[n]{a_n} = \left(\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\right)^{1/n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n}$.

$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} = e^{-1} = \frac{1}{e} < 1$. よって $\sum a_n$ は収束する。

(8) $a_n = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n} = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ であるから、$\sum a_n$ は発散する。

3. 最終的な答え

(1) 収束

(2) 発散

(3) 収束

(4) 発散

(5) 収束

(6) 収束

(7) 収束

(8) 発散