$\sqrt[3]{1+x}$ の2次の近似式を用いて、$\sqrt[3]{1.1}$ と $\sqrt[3]{30}$ の近似値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{1+x}$ の2次の近似式を用いて、$\sqrt[3]{1.1}$ と $\sqrt[3]{30}$ の近似値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sqrt[3]{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{3}}$ とおきます。

$f(x)$ の2次のテイラー展開(マクローリン展開)を求めます。

$f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}$

$f''(x) = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) (1+x)^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{9}(1+x)^{-\frac{5}{3}}$

$f(0), f'(0), f''(0)$ を計算します。

$f(0) = \sqrt[3]{1+0} = 1$

$f'(0) = \frac{1}{3}(1+0)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}$

$f''(0) = -\frac{2}{9}(1+0)^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{9}$

したがって、2次のテイラー展開は次のようになります。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2$

$f(x) \approx 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2$

(1) $\sqrt[3]{1.1}$ の近似値を求めます。

$\sqrt[3]{1.1} = \sqrt[3]{1 + 0.1}$ なので、$x = 0.1$ として代入します。

$\sqrt[3]{1.1} \approx 1 + \frac{1}{3}(0.1) - \frac{1}{9}(0.1)^2 = 1 + \frac{0.1}{3} - \frac{0.01}{9} = 1 + \frac{1}{30} - \frac{1}{900} = 1 + \frac{30}{900} - \frac{1}{900} = 1 + \frac{29}{900} = \frac{929}{900} \approx 1.0322$

(2) $\sqrt[3]{30}$ の近似値を求めます。

$\sqrt[3]{30} = \sqrt[3]{27+3} = \sqrt[3]{27(1+\frac{3}{27})} = 3\sqrt[3]{1+\frac{1}{9}}$

$x = \frac{1}{9}$ として近似式に代入します。

$\sqrt[3]{1+\frac{1}{9}} \approx 1 + \frac{1}{3}(\frac{1}{9}) - \frac{1}{9}(\frac{1}{9})^2 = 1 + \frac{1}{27} - \frac{1}{729} = 1 + \frac{27}{729} - \frac{1}{729} = 1 + \frac{26}{729} = \frac{755}{729} \approx 1.0357$

したがって、$\sqrt[3]{30} = 3\sqrt[3]{1+\frac{1}{9}} \approx 3(\frac{755}{729}) = \frac{755}{243} \approx 3.09$

3. 最終的な答え

$\sqrt[3]{1.1} \approx 1.0322$

$\sqrt[3]{30} \approx 3.09$