次の極形式で表された複素数を $x + iy$ の形で表現せよ。 (1) $2e^{-i\frac{\pi}{4}}$ (2) $3e^{i\frac{\pi}{3}}$

1. 問題の内容

次の極形式で表された複素数を $x + iy$ の形で表現せよ。

(1) $2e^{-i\frac{\pi}{4}}$

(2) $3e^{i\frac{\pi}{3}}$

2. 解き方の手順

(1) オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を用いる。

$2e^{-i\frac{\pi}{4}} = 2(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$2e^{-i\frac{\pi}{4}} = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$

(2) 同様にオイラーの公式を用いる。

$3e^{i\frac{\pi}{3}} = 3(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$3e^{i\frac{\pi}{3}} = 3(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2} - i\sqrt{2}$

(2) $\frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$