問題4と5は、与えられた関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）で近似する問題です。問題4は $f(x) = \sqrt{x+1}$ を $n=4$ まで、問題5は $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を有限項でマクローリン展開します。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題4と5は、与えられた関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）で近似する問題です。問題4は $f(x) = \sqrt{x+1}$ を $n=4$ まで、問題5は $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を有限項でマクローリン展開します。

2. 解き方の手順

問題4: $f(x) = \sqrt{x+1}$ の場合

マクローリン展開は以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + ...$

まずは、$f(x)$とその導関数を計算します。

$f(x) = (x+1)^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^{-\frac{3}{2}}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(x+1)^{-\frac{5}{2}}$

$f''''(x) = -\frac{15}{16}(x+1)^{-\frac{7}{2}}$

次に、それぞれの関数に $x=0$ を代入します。

$f(0) = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}$

$f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(0) = \frac{3}{8}$

$f''''(0) = -\frac{15}{16}$

これらの値をマクローリン展開の式に代入します。

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4 \cdot 2!}x^2 + \frac{3}{8 \cdot 3!}x^3 - \frac{15}{16 \cdot 4!}x^4$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4$

問題5: $f(x) = \frac{1}{1-x}$ の場合

$f(x)$ は等比数列の和の形をしているため、以下のようになります。

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...$

これは、$|x| < 1$ で収束するマクローリン展開です。

3. 最終的な答え

問題4: $f(x) = \sqrt{x+1}$ の $n=4$ までのマクローリン展開

$f(x) \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4$

問題5: $f(x) = \frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開

$f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...$