$\int \tan^5 x \, dx$ を計算する問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$\int \tan^5 x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\tan^5 x$ を $\tan^3 x \cdot \tan^2 x$ と分解します。

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を利用して、積分をより簡単な形に変形します。

$\int \tan^5 x \, dx = \int \tan^3 x (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \tan^3 x \sec^2 x \, dx - \int \tan^3 x \, dx$

$\int \tan^3 x \sec^2 x \, dx$ は置換積分で計算します。

$u = \tan x$ とすると、$du = \sec^2 x \, dx$ となるので、

$\int \tan^3 x \sec^2 x \, dx = \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\tan^4 x}{4} + C$

$\int \tan^3 x \, dx$ も同様に計算します。

$\int \tan^3 x \, dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \tan x \sec^2 x \, dx - \int \tan x \, dx$

$\int \tan x \sec^2 x \, dx = \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{\tan^2 x}{2} + C$

$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\ln |\cos x| + C$

したがって、

$\int \tan^3 x \, dx = \frac{\tan^2 x}{2} - (-\ln |\cos x|) + C = \frac{\tan^2 x}{2} + \ln |\cos x| + C$

よって、

$\int \tan^5 x \, dx = \frac{\tan^4 x}{4} - \left( \frac{\tan^2 x}{2} + \ln |\cos x| \right) + C = \frac{\tan^4 x}{4} - \frac{\tan^2 x}{2} - \ln |\cos x| + C$

3. 最終的な答え

$\int \tan^5 x \, dx = \frac{\tan^4 x}{4} - \frac{\tan^2 x}{2} - \ln |\cos x| + C$