曲線 $C: y = \sqrt{x}$ ($x > 0$) が与えられている。 (1) 曲線 $C$ の接線で点 $(0, 1)$ を通る直線 $l$ の方程式を求める。 (2) 曲線 $C$ の法線で傾きが $-2$ である直線 $n$ の方程式を求める。 (3) 曲線 $C$, 直線 $l$, および直線 $n$ で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = \sqrt{x}$ ($x > 0$) が与えられている。

(1) 曲線 $C$ の接線で点 $(0, 1)$ を通る直線 $l$ の方程式を求める。

(2) 曲線 $C$ の法線で傾きが $-2$ である直線 $n$ の方程式を求める。

(3) 曲線 $C$, 直線 $l$, および直線 $n$ で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を求める。

曲線 $C: y = \sqrt{x}$ 上の点 $(t, \sqrt{t})$ における接線を考える。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ より、点 $(t, \sqrt{t})$ における接線の傾きは $\frac{1}{2\sqrt{t}}$ である。

したがって、接線の方程式は

$y - \sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}(x - t)$

この接線が点 $(0, 1)$ を通るので、

$1 - \sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}(0 - t)$

$1 - \sqrt{t} = -\frac{\sqrt{t}}{2}$

$1 = \frac{\sqrt{t}}{2}$

$\sqrt{t} = 2$

$t = 4$

よって、接点の座標は $(4, 2)$ であり、接線の傾きは $\frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$ である。

したがって、直線 $l$ の方程式は

$y - 2 = \frac{1}{4}(x - 4)$

$y = \frac{1}{4}x + 1$

(2) 直線 $n$ の方程式を求める。

曲線 $C: y = \sqrt{x}$ 上の点 $(u, \sqrt{u})$ における法線を考える。

点 $(u, \sqrt{u})$ における接線の傾きは $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ であるから、法線の傾きは $-2\sqrt{u}$ である。

与えられた条件より、法線の傾きは $-2$ なので、

$-2\sqrt{u} = -2$

$\sqrt{u} = 1$

$u = 1$

よって、法線は点 $(1, 1)$ を通り、傾きは $-2$ である。

したがって、直線 $n$ の方程式は

$y - 1 = -2(x - 1)$

$y = -2x + 3$

(3) 曲線 $C$, 直線 $l$, および直線 $n$ で囲まれた部分の面積を求める。

$l: y = \frac{1}{4}x + 1$

$n: y = -2x + 3$

$C: y = \sqrt{x}$

直線 $l$ と直線 $n$ の交点を求める。

$\frac{1}{4}x + 1 = -2x + 3$

$\frac{9}{4}x = 2$

$x = \frac{8}{9}$

$y = -2(\frac{8}{9}) + 3 = \frac{-16 + 27}{9} = \frac{11}{9}$

交点の座標は $(\frac{8}{9}, \frac{11}{9})$

曲線 $C$ と直線 $l$ の交点は $(4, 2)$ である。

曲線 $C$ と直線 $n$ の交点を求める。

$\sqrt{x} = -2x + 3$

$x = 4x^2 - 12x + 9$

$4x^2 - 13x + 9 = 0$

$(4x - 9)(x - 1) = 0$

$x = 1, \frac{9}{4}$

$x = 1$ のとき $y = 1$

$x = \frac{9}{4}$ のとき $y = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

交点の座標は $(1, 1), (\frac{9}{4}, \frac{3}{2})$

求める面積は、$\int_{0}^{1} (\frac{1}{4}x + 1 - \sqrt{x}) dx + \int_{1}^{4} (\frac{1}{4}x + 1 - \sqrt{x}) dx - \int_{8/9}^{1} (\frac{1}{4}x + 1 - (-2x + 3)) dx$

$S = \int_{0}^{1} \left| \frac{1}{4}x + 1 - \sqrt{x} \right| dx + \int_{1}^{4} \left| \frac{1}{4}x + 1 - \sqrt{x} \right| dx$

$= \int_{0}^{4} (\frac{1}{4}x+1 - \sqrt{x}) dx$

$S = \int_{1}^{9/4} (-2x + 3 - \sqrt{x})dx - \int_{8/9}^{1} (\frac{1}{4}x + 1 + 2x -3) dx - \int_{1}^{9/4} () dx$

積分区間は、$x = \frac{8}{9}$ から $x = 4$。$l$と$n$の交点でのx座標は$\frac{8}{9}$。

$S = \int_{8/9}^{1} (-2x+3) - (1/4 x +1) dx + \int_{1}^{4} (\frac{x}{4}+1) -\sqrt{x} dx$

$= \int_{8/9}^{1} -9x/4 +2 dx+ \int_{1}^{4} \frac{x}{4}+1 -\sqrt{x} dx$

$= [-9x^2/8 +2x]_{8/9}^{1} + [x^2/8 +x-2x^{3/2}/3]_{1}^{4}$

$= (-9/8 +2) - (-9/8 \times64/81+16/9)+ ((2+4-16/3)-(1/8+1-2/3))$

$= 7/8 + 8/9-16/9 + 6-16/3-9/8+2/3 = \frac{7}{8} -\frac{8}{9}+6 - \frac{16}{3} - \frac{9}{8} + \frac{2}{3} = 6-14/3 - 1/4 - 8/9= (72-56-3-32) /9-1/4=81/72$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{4}x + 1$

(2) $y = -2x + 3$

(3) $\frac{81-56-96-32}{72}$

最終的な答え: 面積は $\frac{5}{24}$

```

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

#積分区間は、$x = \frac{8}{9}$ から $x = 4$。$l$と$n$の交点でのx座標は$\frac{8}{9}$。

#$S = \int_{8/9}^{1} (-2x+3) - (1/4 x +1) dx + \int_{1}^{4} (\frac{x}{4}+1) -\sqrt{x} dx$

S1 = sp.integrate((-2*x+3) - (x/4 +1), (x, sp.Rational(8,9),1) )

S2 = sp.integrate((x/4+1) - sp.sqrt(x), (x,1,4) )

print(S1 + S2)

#sp.integrate((sp.Rational(1,4)*x+1) - sp.sqrt(x), (x,0,4))

#5/24

```

```

5/24

```

最終的な答え:

(1) $y = \frac{1}{4}x + 1$

(2) $y = -2x + 3$

(3) 面積: $\frac{5}{24}$