(1) 曲線 $y = \frac{2}{3}\sqrt{x^3}$ の $0 \le x \le 8$ の部分の長さを求めます。 (2) 曲線 $3y^2 = x(x-1)^2$ の輪線部の長さを求めます。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = \frac{2}{3}\sqrt{x^3}$ の $0 \le x \le 8$ の部分の長さを求めます。

(2) 曲線 $3y^2 = x(x-1)^2$ の輪線部の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $y = f(x)$ の $a \le x \le b$ の部分の長さ $L$ は、以下の式で与えられます。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

$(\frac{dy}{dx})^2 = x$

したがって、$L = \int_0^8 \sqrt{1 + x} dx$

$u = 1 + x$ とおくと、$du = dx$

$x = 0$ のとき、$u = 1$

$x = 8$ のとき、$u = 9$

$L = \int_1^9 \sqrt{u} du = \int_1^9 u^{\frac{1}{2}} du = \left[ \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right]_1^9 = \frac{2}{3}(9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{2}{3}(26) = \frac{52}{3}$

(2)

$3y^2 = x(x-1)^2$ は原点に尖点を持つ曲線です。輪線部は $0 \le x \le 1$ の範囲にあります。

$y^2 = \frac{1}{3}x(x-1)^2$

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{3}x(x-1)^2} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{x} (1-x)$　($0\leq x\leq 1$)

$y = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{x} (1-x)$について、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$y = \frac{1}{\sqrt{3}} (x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2\sqrt{3}} (x^{-\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2\sqrt{3}} (\frac{1 - 3x}{\sqrt{x}})$

$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{1}{12} \frac{(1-3x)^2}{x} = \frac{1}{12} \frac{1 - 6x + 9x^2}{x}$

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \frac{1}{12}(\frac{1}{x} - 6 + 9x) = \frac{12x + 1 - 6x + 9x^2}{12x} = \frac{9x^2 + 6x + 1}{12x} = \frac{(3x+1)^2}{12x}$

$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \frac{3x+1}{2\sqrt{3x}}$

$L = 2 \int_0^1 \frac{3x+1}{2\sqrt{3x}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_0^1 \frac{3x+1}{2\sqrt{x}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_0^1 (\frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) dx$

$L = \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}]_0^1 = \frac{1}{\sqrt{3}} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}}]_0^1 = \frac{1}{\sqrt{3}} (1 + 1) = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{52}{3}$

(2) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$