(3) $ \int (4e^x + 3\tan x) \, dx $ (4) $ \int \tan^2 x \, dx $ 上記2つの不定積分を計算します。

1. 問題の内容

(3) $\int (4e^x + 3\tan x) \, dx$

(4) $\int \tan^2 x \, dx$

上記2つの不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

(3) まず、$\int (4e^x + 3\tan x) \, dx$ を計算します。積分の線形性より、

$\int (4e^x + 3\tan x) \, dx = 4\int e^x \, dx + 3\int \tan x \, dx$

$\int e^x \, dx = e^x$ であり、$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x|$ です。よって、

$4\int e^x \, dx + 3\int \tan x \, dx = 4e^x - 3\ln|\cos x| + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

(4) 次に、$\int \tan^2 x \, dx$ を計算します。三角関数の恒等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を用います。

$\int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x$ であり、$\int 1 \, dx = x$ です。よって、

$\int \tan^2 x \, dx = \tan x - x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

(3) $4e^x - 3\ln|\cos x| + C$

(4) $\tan x - x + C$