$\int \cos^{-1}x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \cos^{-1}x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

逆三角関数の積分なので、部分積分法を用います。

$u = \cos^{-1}x$、 $dv = dx$ とおくと、

$du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$、 $v = x$ となります。

部分積分法の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$\int \cos^{-1}x \, dx = x \cos^{-1}x - \int x \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) dx$

$= x \cos^{-1}x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ を計算します。

$t = 1-x^2$ とおくと、 $dt = -2x \, dx$ より、 $x \, dx = -\frac{1}{2} dt$

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \left( -\frac{1}{2} dt \right)$

$= -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} \, dt = -\frac{1}{2} \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

よって、

$\int \cos^{-1}x \, dx = x \cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

$x \cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2} + C$