次の2つの定積分を求めます。 (1) $\int_0^1 (3x-1)^2 dx$ (4) $\int_e^{e^2} \frac{dx}{x(\log x)^4}$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を求めます。

(1) $\int_0^1 (3x-1)^2 dx$

(4) $\int_e^{e^2} \frac{dx}{x(\log x)^4}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 (3x-1)^2 dx$

まず、$(3x-1)^2$ を展開します。

$(3x-1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$

次に、積分を計算します。

$\int_0^1 (9x^2 - 6x + 1) dx = [3x^3 - 3x^2 + x]_0^1 = (3(1)^3 - 3(1)^2 + 1) - (0) = 3 - 3 + 1 = 1$

(4) $\int_e^{e^2} \frac{dx}{x(\log x)^4}$

$u = \log x$ と置換します。

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$, より $dx = x du$

積分の範囲は、$x = e$ のとき $u = \log e = 1$、$x = e^2$ のとき $u = \log e^2 = 2$ となります。

$\int_e^{e^2} \frac{dx}{x(\log x)^4} = \int_1^2 \frac{x du}{x u^4} = \int_1^2 \frac{1}{u^4} du = \int_1^2 u^{-4} du$

$\int_1^2 u^{-4} du = [\frac{u^{-3}}{-3}]_1^2 = [-\frac{1}{3u^3}]_1^2 = (-\frac{1}{3(2^3)}) - (-\frac{1}{3(1^3)}) = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{7}{24}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_0^1 (3x-1)^2 dx = 1$

(4) $\int_e^{e^2} \frac{dx}{x(\log x)^4} = \frac{7}{24}$