## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x - x}{x^3}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$

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2. 解き方の手順

**(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x - x}{x^3}$**

この極限を求めるためには、$\sin^{-1}x$ のマクローリン展開を利用します。

$\sin^{-1}x$ のマクローリン展開は、

$\sin^{-1}x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + ...$

したがって、

$\sin^{-1}x - x = \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + ...$

$\frac{\sin^{-1}x - x}{x^3} = \frac{1}{6} + \frac{3}{40}x^2 + ...$

$x \to 0$ のとき、$\frac{\sin^{-1}x - x}{x^3} \to \frac{1}{6}$

**(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$**

この極限は、リーマン和の考え方を使って定積分に変換できます。

まず、式を変形します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n(1+\frac{k}{n})} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$

$n \to \infty$ のとき、上記の式は以下の定積分に収束します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$

この定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx = [\ln(1+x)]_{0}^{1} = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\ln 2$