次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x}$

2. 解き方の手順

まず、式を因数分解します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (\sin x + 1)}{x (x + 1)}$

次に、$\frac{\sin x}{x}$ の極限を利用します。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x + 1}{x + 1}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + 1}{x + 1} = \frac{\sin 0 + 1}{0 + 1} = \frac{0 + 1}{1} = 1$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (\sin x + 1)}{x (x + 1)} = 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

1